= 가우스분포 (gaussian distribution)

동영상강의

$ \Large f(x; \quad \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < \infty $

μ : 모평균
σ : 모표준편차
π : 말 그대로 3.14…

$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $는 형태가 매우 복잡하여 원시함수 F(x) 를 찾기가 어렵다.
고로 표준화를 통하여, 미리 계산된 '표준정규분포표(Z-table)'를 이용해 간단히 확률을 찾을 수 있다.

이하는 표준화 방법이다.
1) $ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} = -\frac{1}{2} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 $
2) $ Z = \frac{x-\mu}{\sigma} $
3) $ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} $
이렇게되면 최종적으로 μ, σ는 모두 사라지고 z만 남는다.
해당 z가 의미하는것은 평균(μ)으로부터 몇 표준편차(σ)만큼 떨어져 있는가를 나타내는 상대적인 위치 값이다.

질문 : 이 집단에서 임의 로 한명을 뽑을 시 키가 175~180cm일 확률은 얼만일까?
모집단 : 어떤 집단의 평균키 175cm이고 표준편차가 5cm
모수 :
1. μ = 175
2. σ = 5

계산 :
1) 질문변환 : $ 175X \le X \le 180 $ 이다.
이것을 Z에 대한 확률 $ P(Z_1 \le Z \le Z_2)$로 변환한다.

2) 각 Ζ-점수 계산
$ Z_1 = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{175 - 175}{5} = 0 $
$ Z_2 = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{180 - 175}{5} = 1 $

3) \begin{aligned} P(0 \le Z \le 1) &= P(Z \le 1) - P(Z \le 0)
&\approx 0.84134 - 0.50000
&= 0.34134 \end{aligned}

* P(Z ~ ) 의 결과는 계산이 아닌 정규분포표 에서 찾아야함.