$ \Large p(x; n, p) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots, n $

이항분포의 공식은 두개의 파트로 찢어서 보면된다.

1. 콤비네이션 파트 : $ \binom{n}{x} $
2. 베르누이분포 파트 : $ p^x (1-p)^{n-x} $

콤비네이션 파트는 n번 기회중 확률변수 x가 나올 경우의 수이며
베르누이분포 파트는 해당 확률변수에 대한 확률을 구한다.(자세한 설명 베르누이분포파트참고)

1. 상황 : 동전을 3번 던진다.

2. 모수 :
총 시행 횟수 n = 3
앞면 확률 p = 0.5

3. 확률변수 x=2
* 확률변수가 2인 이유 :
동전을 한번만 던지면 S={앞,뒤)로 0, 1 개이다.
하지만 동전을 3번 던지면 S = {앞앞앞, 앞앞뒤, 앞뒤앞, 뒤앞앞, 앞뒤뒤, 뒤앞뒤, 뒤뒤앞, 뒤뒤뒤} 로써 $2^3 = 8$ 이 된다.
해당 8을 확률변수에 매칭시킨다면
X({뒤뒤뒤}) = 0
X({앞뒤뒤}) = 1
X({뒤앞뒤}) = 1
X({뒤뒤앞}) = 1
X({앞앞뒤}) = 2 ← 바로 여기서 '2'가 등장
X({앞뒤앞}) = 2
X({뒤앞앞}) = 2
X({앞앞앞}) = 3

4. 계산 :
$ p(2, 3, 0.5) =  \binom{3}{2} p^x (1-0.5)^{3-2} $ 가된다.

$\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$
이 3은 {앞,앞,뒤}, {앞,뒤,뒤}, {뒤,앞,앞} 총 3가지를 의미한다.

(0.5)^2 (1-0.5)^{3-2} = (0.5)^2 (0.5)^1 = 0.125

고로 : $ 3 \times 0.125 =0.375 $
결과적으로 동전을 3번 던져서 앞면이 2번 나올 확률은 37.5% 이다.