Rank는 행렬(matrix) 또는 선형 사상(linear transformation)이 얼마나 많은 차원의 공간을 생성하는지를 나타내는 값. 즉, 변환 후 결과로 만들어지는 공간의 차원(dimension)을 의미.

행렬의 열공간(column space)의 차원과 같다. 이는 행렬의 열 벡터들 중 서로 독립적인 벡터의 최대 개수와 동일.

선형 사상 $L:V \to W$에서 치역(Image)의 차원을 의미. $$ \operatorname{rank}(L) = \dim(\operatorname{Im}(L)) $$

$m \times n$ 크기의 행렬 $A$에 대하여:

행 Rank와 열 Rank는 항상 같다. $$ \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T) $$

가우스 소거법을 적용했을 때 나타나는 피벗(pivot)의 개수와 같다.

Rank는 행과 열의 개수보다 클 수 없다. $$ \operatorname{rank}(A) \le \min(m, n) $$

Rank와 Nullity(영공간의 차원)의 합은 행렬의 열의 개수($n$)와 같다. $$ \operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n $$

차원은 벡터 공간 자체의 크기를 나타내는 고유한 속성 (예: $\mathbb{R}^3$ 공간의 차원은 3)

Rank는 행렬이나 선형 사상에 의해 변환된 결과 공간(Image)이 몇 차원인지를 나타내는 값. 즉, Rank는 특정 대상(열공간)에 한정된 차원을 지칭하는 개념.