정의 : 곡선아래의 넓이를 구하는 것이다.

$ \Large \int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x $
* 우항이 정적분의 정석적인 풀이 리만합이다.
$ F(b)-F(a) $ 를 통해 간편히 넓이를 구하는 공식도 있지만 본 페이지는 정석적인 리만합을 위주로 설명한다.

$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x $ 의 $ \lim_{n \to \infty} $는 x축이 무한하다가 아닌,
고정된 구간 [a, b]를 무한히 많은 사각형으로 잘게 쪼갠다는 의미.
우항은 [a,b]와 같은 구간이 없다. 다만 Δx = $ \frac{b-a}{n} $ 으로 [a,b]를 내포하고잇다.

예시: $$ \int_0^2 x^2 dx $$ 계산 과정

1단계: 문제 설정하기
함수는 $$ f(x) = x^2 $$ 이고, 구간은 $$ [a, b] = [0, 2] $$

2단계: 구간을 n개의 사각형으로 나누기
사각형 한 개의 밑변($$\Delta x$$) 계산 $$ \Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n} $$
i번째 사각형의 x좌표($$x_i$$) 계산 $$ x_i = 0 + i \cdot \Delta x = \frac{2i}{n} $$

3단계: 리만 합 공식 세우기
넓이 공식 $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x $$ 에 $$ f(x_i) = (\frac{2i}{n})^2 = \frac{4i^2}{n^2} $$ 와 $$ \Delta x = \frac{2}{n} $$ 를 대입합니다. $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{4i^2}{n^2} \right) \left( \frac{2}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{8i^2}{n^3} $$

4단계: 시그마(∑) 계산하기
$$ i $$와 관련 없는 항($$ \frac{8}{n^3} $$)을 $$ \sum $$ 앞으로 이동시킵니다. $$ \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 $$
시그마 공식 $$ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$ 를 적용합니다. $$ \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) $$

5단계: 극한(lim) 계산으로 넓이 확정하기
식을 정리하고 분자와 분모를 최고차항인 $$ n^3 $$으로 나눕니다. $$ \lim_{n \to \infty} \frac{8(2n^3 + 3n^2 + n)}{6n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \cdot \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \left( \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{1} \right) $$
$$ n \to \infty $$ 일 때 $$ \frac{3}{n} $$과 $$ \frac{1}{n^2} $$는 0이 되므로, 최종 결과는 다음과 같습니다. $$ \frac{4}{3} \cdot (2 + 0 + 0) = \frac{8}{3} $$

최종 결과
따라서 $$ y=x^2 $$ 그래프의 $$ x=0 $$ 부터 $$ x=2 $$ 까지의 넓이는 $$ \frac{8}{3} $$