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차원(dimension)

개념

기저의 개수가 곧 차원이다.

예문

1. 3차원 실수 벡터 공간 $\mathbb{R}^3$

공간: 3차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^3$ 표준 기저 $\mathfrak{B}$: $$ \mathfrak{B} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$ 기저의 개수: 3개 차원: $\dim \mathbb{R}^3 = 3$

2. 차수가 2 이하인 다항식 공간 $P_2$

공간: 실수 계수를 가지는 차수 2 이하의 모든 다항식의 집합 $P_2 = \{a + bt + ct^2 \mid a, b, c \in \mathbb{R}\}$ 표준 기저 $\mathfrak{B}$: $$ \mathfrak{B} = \left\{ 1, t, t^2 \right\} $$ 기저의 개수: 3개 차원: $\dim P_2 = 3$

3. $2 \times 2$ 실수 행렬 공간 $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$

공간: $2 \times 2$ 크기의 모든 실수 행렬의 집합 $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 표준 기저 $\mathfrak{B}$: $$ \mathfrak{B} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} $$ 기저의 개수: 4개 차원: $\dim M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) = 4$