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대각화 (Diagonalization)

개념

복잡한 행렬A 를 간단한 행렬 D로 바꾸는것

공식

$ \Large D=P^-1 A P $

예시

행렬 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$를 대각화함

1. 고유값과 고유벡터

행렬 $A$를 분석하면 다음과 같은 고유값과 고유벡터를 확인. * 고유값: $\lambda_1=2$, $\lambda_2=3$ * 고유벡터: $\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. 변환 행렬 $P$와 $P^{-1}$ 구성

고유벡터 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$를 열로 사용하여 변환 행렬 $P$를 만듭니다. $P$와 그 역행렬 $P^{-1}$는 다음과 같습니다. $$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

3. 대각화 공식 적용

공식 $D = P^{-1} A P$에 적용합니다. $$ \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{P^{-1}} \underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{P} = \underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}}_{D} $$