\normalfont 가우스 소거법은 선형 연립 방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{B}$를 해(solution)를 구하기 위해 체계적으로 기본 행 연산(Elementary Row Operations)을 사용하여 첨가 행렬 $(A \mid B)$를 특정 형태(행 사다리꼴)로 변환하는 방법이다.

기본 행 연산을 사용하여 첨가 행렬 $(A \mid B)$를 행 사다리꼴 (Row Echelon Form, REF) 또는 기약 행 사다리꼴 (Reduced Row Echelon Form, RREF)로 변환하는 것이다.

행렬의 해집합을 바꾸지 않으면서 행렬을 변형하는 세 가지 연산이다.

두 행의 위치를 서로 바꾼다. ($R_i \leftrightarrow R_j$)

한 행에 $0$이 아닌 스칼라 $r$을 곱한다. ($R_i \leftarrow rR_i$)

한 행에 다른 행의 $s$-배를 더한다. ($R_i \leftarrow R_i + sR_j, \ i \neq j$)

\normalfont 가우스 소거법의 최종 목표 형태인 행 사다리꼴은 다음 세 가지 조건을 만족해야 한다.

1. 영행 (Zero Rows)의 위치: 성분이 모두 $0$인 행(영행)이 있다면, 이 행들은 행렬의 가장 아래쪽에 위치해야 한다. 2. 선두 성분 (Leading Entry)의 위치: 각 $0$이 아닌 행에서 처음으로 나타나는 $0$이 아닌 성분(선두 성분 또는 피벗(pivot))은 그 바로 윗 행의 선두 성분보다 오른쪽에 위치해야 한다. 3. 선두 성분 아래: 선두 성분이 위치한 열에서, 그 선두 성분 아래의 모든 성분은 $0$이어야 한다.

$$ \begin{pmatrix} \mathbf{1} & * & * & * \\ 0 & \mathbf{1} & * & * \\ 0 & 0 & 0 & \mathbf{1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{(REF의 예시)} $$

\normalfont 행 사다리꼴에서 다음 두 가지 조건을 추가로 만족시키면 기약 행 사다리꼴 (RREF)이 되며, 이는 가우스-요르단 소거법의 목표 형태이다.

1. 선두 성분의 값: $0$이 아닌 모든 행의 선두 성분은 $\mathbf{1}$이어야 한다. 2. 선두 성분의 열: 선두 성분이 포함된 열에서, 그 선두 성분 외의 나머지 모든 성분은 $\mathbf{0}$이어야 한다.

$$ \begin{pmatrix} \mathbf{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{1} & 0 & * \\ 0 & 0 & \mathbf{1} & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{(RREF의 예시)} $$