짝함수와 홀함수의 정적분은 그래프의 대칭성을 이용해 계산을 간단하게 만드는 유용한 팁

이 유용한 규칙들은 적분 구간이 $$ [-a, a] $$ 형태일 때만 사용가능. $$ \int_{-3}^{3} $$, $$ \int_{-\pi}^{\pi} $$처럼 0을 기준으로 양쪽으로 똑같은 거리만큼 떨어져 있을 때만 성립.

따라서 정적분 문제를 풀 때 적분 구간이 $$ [-a, a] $$ 형태라면, 함수가 짝함수인지 홀함수인지 먼저 확인한다면 계산 쉬워짐.

정의: $$ f(-x) = f(x) $$를 만족하는 함수 (예: $$ y=x^2, y=\cos x $$)
그래프 특징: y축을 기준으로 완벽하게 좌우 대칭인 함수. 마치 데칼코마니처럼 y축을 따라 접으면 완전히 겹쳐짐.

적분 규칙: $$ \Large \int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx $$
핵심 원리: y축 왼쪽(-a부터 0까지)의 넓이와 오른쪽(0부터 a까지)의 넓이가 같다. 따라서 계산하기 편한 오른쪽 절반의 넓이만 구해서 2배하면 전체 넓이를 쉽게 얻을 수 있음.

정의: $$ f(-x) = -f(x) $$를 만족하는 함수 (예: $$ y=x^3, y=\sin x $$)
그래프 특징: 원점을 기준으로 180도 회전 대칭인 함수.

적분 규칙: $$ \Large \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 $$
핵심 원리: 원점을 기준으로 한쪽은 x축 위에 넓이가 있고(양수 값), 다른 한쪽은 x축 아래에 똑같은 크기의 넓이가 있습니다(음수 값). 정적분은 부호를 포함한 넓이이므로, 양수 넓이와 음수 넓이가 서로 완벽하게 상쇄되어(cancel out) 계산할 필요 없이 결과는 항상 0이 됨.