=====가우스 소거법(Gaussian Elimination)=====

\normalfont **가우스 소거법**은 선형 연립 방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{B}$를 해(solution)를 구하기 위해 체계적으로 기본 행 연산(Elementary Row Operations)을 사용하여 첨가 행렬 $(A \mid B)$를 특정 형태(행 사다리꼴)로 변환하는 방법이다.

====목표====
기본 행 연산을 사용하여 첨가 행렬 $(A \mid B)$를 **행 사다리꼴 (Row Echelon Form, REF)** 또는 **기약 행 사다리꼴 (Reduced Row Echelon Form, RREF)**로 변환하는 것이다.

====기본 행 연산 (Elementary Row Operations)====
행렬의 해집합을 바꾸지 않으면서 행렬을 변형하는 세 가지 연산이다.

===1. 교환 (Interchange)===
두 행의 위치를 서로 바꾼다. ($R_i \leftrightarrow R_j$) \\
\\

===2. 스칼라 곱 (Scaling)===
한 행에 $0$이 아닌 스칼라 $r$을 곱한다. ($R_i \leftarrow rR_i$) \\
\\

===3. 치환 (Replacement)===
한 행에 다른 행의 $s$-배를 더한다. ($R_i \leftarrow R_i + sR_j, \ i \neq j$) \\
\\

====행 사다리꼴 (REF)의 조건====
\normalfont 가우스 소거법의 최종 목표 형태인 **행 사다리꼴**은 다음 세 가지 조건을 만족해야 한다.

1.  **영행 (Zero Rows)의 위치:** 성분이 모두 $0$인 행(영행)이 있다면, 이 행들은 행렬의 가장 아래쪽에 위치해야 한다.
2.  **선두 성분 (Leading Entry)의 위치:** 각 $0$이 아닌 행에서 처음으로 나타나는 $0$이 아닌 성분(선두 성분 또는 피벗(pivot))은 그 바로 윗 행의 선두 성분보다 오른쪽에 위치해야 한다.
3.  **선두 성분 아래:** 선두 성분이 위치한 열에서, 그 선두 성분 아래의 모든 성분은 $0$이어야 한다.

$$
\begin{pmatrix}
\mathbf{1} & * & * & * \\
0 & \mathbf{1} & * & * \\
0 & 0 & 0 & \mathbf{1} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\quad \text{(REF의 예시)}
$$

====가우스-요르단 소거법 (Gauss-Jordan Elimination)====
\normalfont 행 사다리꼴에서 다음 두 가지 조건을 추가로 만족시키면 **기약 행 사다리꼴 (RREF)**이 되며, 이는 **가우스-요르단 소거법**의 목표 형태이다.

1.  **선두 성분의 값:** $0$이 아닌 모든 행의 선두 성분은 $\mathbf{1}$이어야 한다.
2.  **선두 성분의 열:** 선두 성분이 포함된 열에서, 그 선두 성분 외의 나머지 모든 성분은 $\mathbf{0}$이어야 한다.

$$
\begin{pmatrix}
\mathbf{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \mathbf{1} & 0 & * \\
0 & 0 & \mathbf{1} & * \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\quad \text{(RREF의 예시)}
$$