선형대수:행렬식 [WSDwiki]

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.

=====행렬식(Determinant)=====

====계산(2행2열)====
행렬 $A$의 행렬식은 주 대각선 성분의 곱에서 반대 대각선 성분의 곱을 빼서 계산한다.\\
\\
$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \implies \det(A) = ad - bc$ \\
\\

====행렬식의 결과가 의미하는 것====
===1. 가역성 (Invertibility) 판단===
행렬 $A$의 역행렬($A^{-1}$) 존재 여부, 즉 가역성을 판단하는 기준이 된다.
$$
\det(A) \neq 0 \iff A \text{는 가역 행렬 (Invertible Matrix)}
$$
$$
\det(A) = 0 \iff A \text{는 비가역 행렬 (Singular Matrix)}
$$ \\
\\

===2. 기하학적 의미 (부피/넓이 변화율)===
행렬 $A$가 나타내는 변환에 의해 공간의 부피(또는 2차원에서의 넓이)가 얼마나 변했는지 나타낸다.
$$
|\det(A)| = \text{변환된 부피} / \text{원래 부피}
$$
부호는 공간의 **방향(Orientation)**이 보존되었는지($+$) 또는 반전되었는지($-$)를 나타낸다.\\
\\


===3. 일차 독립성 판단===
행렬 $A$의 열 벡터(또는 행 벡터)들이 서로 얼마나 독립적인지 판단한다.
$$
\det(A) = 0 \iff \text{A의 열 벡터들이 일차 종속 (Linearly Dependent)}
$$
이는 행렬의 열 공간의 차원 [[선형대수:계수]]가 행렬 크기보다 작아 변환 후 공간이 찌그러졌음을 의미한다.