선형대수:선형확장정리 [WSDwiki]

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=====선형확장정리(Linear Extension Theorem)=====

====개념====
[[선형대수:선형사상]]을 정의할 때, , 벡터 공간 V의 기저(Basis) 벡터들이 도착 공간 W의 어디로 갈지만 정해 주면, 나머지 모든 벡터의 변환 결과는 선형성 규칙에 의해 자동으로, 그리고 유일하게 결정 \\
\\

====예문====
$\mathbb{R}^2$ 공간($V$)에서 $\mathbb{R}^2$ 공간($W$)으로 가는 선형사상 $L$을 정의한다.\\
**기저 $\mathfrak{B}$**: $\mathbb{R}^2$의 표준 기저 $\mathfrak{B} = \left\{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$

===기저의 목표 지정 (자유로운 선택)===
선형 확장 정리에 따라, 기저 벡터들의 목표($L(\mathbf{e}_i)$)를 임의로 지정한다.\\ 
\\
1. $L\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ \\
2. $L\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

===임의의 벡터 변환 (유일하게 결정)===
임의의 벡터 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$의 변환 결과 $L(\mathbf{v})$는 다음 단계에 따라 유일하게 결정된다.

===1. 일차 결합 표현===
$$
\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 5\mathbf{e}_1 + 4\mathbf{e}_2
$$

===2. 선형성 적용===
선형성 규칙 $L(\sum a_i v_i) = \sum a_i L(v_i)$를 적용한다.
$$
L(\mathbf{v}) = 5L(\mathbf{e}_1) + 4L(\mathbf{e}_2)
$$

===3. 최종 결과 확정===
지정된 목표 값을 대입하여 $L(\mathbf{v})$를 계산한다.
$$
L(\mathbf{v}) = 5 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 13 \end{pmatrix}
$$