미적분:치환적분법 [WSDwiki]

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=====치환적분법(Integration by Substitution)=====

> 개념: 복잡한 함수의 일부를 간단한 문자(u)로 바꿔(치환하여), 계산하기 쉬운 형태로 만들어 적분하는 기술. 미분의 **[[미적분:연쇄법칙|연쇄법칙]]**을 거꾸로 적용하는 과정이다.
> 쉽게말하자면 치환적분법은 적분하려는 함수가 **'합성 함수'**와 그 **'알맹이 함수의 도함수'**의 곱으로 이루어져 있을 때, 그것을 원시함수로 되돌리는 기술

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====공식====

===부정적분에서의 치환===

$$ \Large \int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du = F(u) + C = F(g(x)) + C $$

* **설명**: 적분할 함수 안에 알맹이 함수 $$g(x)$$와 그것을 미분한 $$g'(x)$$가 곱해져 있을 때 사용한다. $$g(x)$$를 $$u$$로 치환하면 식이 간단해진다.

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===정적분에서의 치환===

$$ \Large \int_a^b f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du $$

* **설명**: 부정적분과 과정은 동일하지만, 가장 중요한 차이점은 **적분 구간**도 함께 바꿔줘야 한다는 점이다.
* 원래의 x구간이었던 $$ [a, b] $$가, 새로운 u구간인 **$$ [g(a), g(b)] $$**로 바뀐다.