선형대수:계수

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 ====개념==== ====개념====
-Rank는 행렬(matrix) 또는 [[선형대수:선형사상|선형 사상(linear transformation)]]이 얼마나 많은 차원의 공간을 생성하는지를 나타내는 값. 즉, 변환 후 결과로 만들어지는 **공간의 차원(dimension)**을 의미. +해당 행렬 A의 각 열이 몇 개의 독립을 띄냐.\\ 
- +즉 A라는 행렬에서 [[선형대수:선형독립]]이 몇개냐
-===행렬에서의 Rank=== +
-행렬의 열공간(column space)의 차원과 같다. 이는 행렬의 열 벡터들 중 서로 독립적인 벡터의 최대 개수와 동일. +
- +
-===선형 사상에서의 Rank=== +
-선형 사상 $L:V \to W$에서 치역(Image)의 차원을 의미. +
-$$ +
-\operatorname{rank}(L) = \dim(\operatorname{Im}(L)) +
-$$ +
- +
-====주요 속성==== +
-$m \times n$ 크기의 행렬 $A$에 대하여: +
- +
-===1. 행 Rank와 열 Rank의 일치=== +
-행 Rank와 열 Rank는 항상 같다. +
-$$ +
-\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T) +
-$$ +
- +
-===2. 피벗의 개수=== +
-가우스 소거법을 적용했을 때 나타나는 피벗(pivot)의 개수와 같다. +
- +
-===3. 최대 크기 제한=== +
-Rank는 행과 열의 개수보다 클 수 없다. +
-$$ +
-\operatorname{rank}(A) \le \min(m, n) +
-$$ +
- +
-===4. 차원 정리 (Rank-Nullity Theorem)=== +
-Rank와 Nullity(영공간의 차원)의 합은 행렬의 **열의 개수($n$)**와 같다. +
-$$ +
-\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n +
-$$ +
- +
-====차원(Dimension)과의 관계==== +
-차원은 벡터 공간 자체의 크기를 나타내는 고유한 속성입니다 (예: $\mathbb{R}^3$ 공간의 차원은 3).\\ +
-Rank는 행렬이나 선형 사상에 의해 변환된 결과 공간(Image)이 몇 차원인지를 나타내는 값. 즉, Rank는 특정 대상(열공간)에 한정된 차원을 지칭하는 개념.+
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