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| 미적분:정적분 [2025/09/28 17:59] – [넓이의 예시] masteraccount | 미적분:정적분 [2025/09/28 18:20] (current) – [정적분(definite integral)] masteraccount | ||
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| =====정적분(definite integral)===== | =====정적분(definite integral)===== | ||
| > 정의 : 곡선아래의 '' | > 정의 : 곡선아래의 '' | ||
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| ====공식==== | ====공식==== | ||
| $ \Large \int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x $ \\ | $ \Large \int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x $ \\ | ||
| + | * 우항이 정적분의 정석적인 풀이 리만합이다. \\ | ||
| + | $ F(b)-F(a) $ 를 통해 간편히 넓이를 구하는 공식도 있지만 '' | ||
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| - | ====공식설명==== | + | |
| + | ====리만합 관련==== | ||
| + | ===공식 설명=== | ||
| $ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x $ 의 $ \lim_{n \to \infty} $는 x축이 무한하다가 아닌, | $ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x $ 의 $ \lim_{n \to \infty} $는 x축이 무한하다가 아닌, | ||
| 고정된 구간 [a, b]를 무한히 많은 사각형으로 잘게 쪼갠다는 의미.\\ | 고정된 구간 [a, b]를 무한히 많은 사각형으로 잘게 쪼갠다는 의미.\\ | ||
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| + | ===공식예문=== | ||
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| + | **예시: $$ \int_0^2 x^2 dx $$ 계산 과정** | ||
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| + | //1단계: 문제 설정하기// | ||
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| + | 함수는 $$ f(x) = x^2 $$ 이고, 구간은 $$ [a, b] = [0, 2] $$ | ||
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| + | //2단계: 구간을 n개의 사각형으로 나누기// | ||
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| + | **사각형 한 개의 밑변($$\Delta x$$) 계산** | ||
| + | $$ \Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n} $$ | ||
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| + | **i번째 사각형의 x좌표($$x_i$$) 계산** | ||
| + | $$ x_i = 0 + i \cdot \Delta x = \frac{2i}{n} $$ | ||
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| + | //3단계: 리만 합 공식 세우기// | ||
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| + | 넓이 공식 $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x $$ 에 $$ f(x_i) = (\frac{2i}{n})^2 = \frac{4i^2}{n^2} $$ 와 $$ \Delta x = \frac{2}{n} $$ 를 대입합니다. | ||
| + | $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{4i^2}{n^2} \right) \left( \frac{2}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{8i^2}{n^3} $$ | ||
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| + | //4단계: 시그마(∑) 계산하기// | ||
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| + | $$ i $$와 관련 없는 항($$ \frac{8}{n^3} $$)을 $$ \sum $$ 앞으로 이동시킵니다. | ||
| + | $$ \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 $$ | ||
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| + | 시그마 공식 $$ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$ 를 적용합니다. | ||
| + | $$ \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) $$ | ||
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| + | //5단계: 극한(lim) 계산으로 넓이 확정하기// | ||
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| + | 식을 정리하고 분자와 분모를 최고차항인 $$ n^3 $$으로 나눕니다. | ||
| + | $$ \lim_{n \to \infty} \frac{8(2n^3 + 3n^2 + n)}{6n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \cdot \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \left( \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{1} \right) $$ | ||
| + | \\ | ||
| + | $$ n \to \infty $$ 일 때 $$ \frac{3}{n} $$과 $$ \frac{1}{n^2} $$는 0이 되므로, 최종 결과는 다음과 같습니다. | ||
| + | $$ \frac{4}{3} \cdot (2 + 0 + 0) = \frac{8}{3} $$ | ||
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| + | **최종 결과** \\ | ||
| + | 따라서 $$ y=x^2 $$ 그래프의 $$ x=0 $$ 부터 $$ x=2 $$ 까지의 넓이는 **$$ \frac{8}{3} $$** | ||