미적분:정적분

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 =====정적분(definite integral)===== =====정적분(definite integral)=====
 > 정의 : 곡선아래의 ''넓이를 구하는 것''이다.\\ > 정의 : 곡선아래의 ''넓이를 구하는 것''이다.\\
-\\ 
- 
 ====공식==== ====공식====
 $ \Large \int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x $ \\ $ \Large \int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x $ \\
 +* 우항이 정적분의 정석적인 풀이 리만합이다. \\
 +$ F(b)-F(a) $ 를 통해 간편히 넓이를 구하는 공식도 있지만 ''본 페이지는 정석적인 리만합을 위주로 설명''한다.\\
 \\ \\
  
-====공식설명====+ 
 +====리만합 관련==== 
 +===공식 설명===
 $ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x $ 의 $ \lim_{n \to \infty} $는 x축이 무한하다가 아닌,\\  $ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x $ 의 $ \lim_{n \to \infty} $는 x축이 무한하다가 아닌,\\ 
 고정된 구간 [a, b]를 무한히 많은 사각형으로 잘게 쪼갠다는 의미.\\ 고정된 구간 [a, b]를 무한히 많은 사각형으로 잘게 쪼갠다는 의미.\\
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 \\ \\
  
-====넓이의 예시==== +===공식예문=== 
-$ f(x) = x^2 $ \\ + 
-$ f'(x) = 2x $ \\+**예시: $$ \int_0^2 x^2 dx $$ 계산 과정** 
 + 
 +---- 
 + 
 +//1단계: 문제 설정하기//
 \\ \\
-$ x=3 $ \\ +함수는 $$ f(x) = x^2 $$ 이고, 구간은 $$ [a, b] = [0, 2] $$ 
-$ f(3)=9 $ \\ + 
-$ f'(3)=6 $ \\+---- 
 + 
 +//2단계: 구간을 n개의 사각형으로 나누기//
 \\ \\
-넓이 = $ \frac{3}{1} \times \frac{6}{1} \times \frac{1}{2} = 9 $ \\ +**사각형 한 개의 밑변($$\Delta x$$) 계산** 
-* $ \frac{1}{2} 가 곱해지는 이유는 삼각형 넓이라서 나누기 2 하는것 $+$$ \Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n} $$ 
 +\\ 
 +**i번째 사각형의 x좌표($$x_i$$) 계산** 
 +$$ x_i = 0 + i \cdot \Delta x = \frac{2i}{n} $$ 
 + 
 +---- 
 + 
 +//3단계: 리만 합 공식 세우기// 
 +\\ 
 +넓이 공식 $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x $$ 에 $$ f(x_i) = (\frac{2i}{n})^2 = \frac{4i^2}{n^2} $$ 와 $$ \Delta x = \frac{2}{n} $$ 를 대입합니다. 
 +$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{4i^2}{n^2} \right) \left( \frac{2}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{8i^2}{n^3} $$ 
 + 
 +---- 
 + 
 +//4단계: 시그마(∑) 계산하기// 
 +\\ 
 +$$ i $$와 관련 없는 항($$ \frac{8}{n^3} $$)을 $$ \sum $$ 앞으로 이동시킵니다. 
 +$$ \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 $$ 
 +\\ 
 +시그마 공식 $$ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$ 를 적용합니다. 
 +$$ \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) $$ 
 + 
 +---- 
 + 
 +//5단계: 극한(lim) 계산으로 넓이 확정하기// 
 +\\ 
 +식을 정리하고 분자와 분모를 최고차항인 $$ n^3 $$으로 나눕니다. 
 +$$ \lim_{n \to \infty} \frac{8(2n^3 + 3n^2 + n)}{6n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \cdot \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \left( \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{1} \right) $$ 
 +\\ 
 +$$ n \to \infty $$ 일 때 $$ \frac{3}{n} $$과 $$ \frac{1}{n^2} $$는 0이 되므로, 최종 결과는 다음과 같습니다. 
 +$$ \frac{4}{3} \cdot (2 + 0 + 0) = \frac{8}{3} $$ 
 + 
 +---- 
 + 
 +**최종 결과** \\ 
 +따라서 $$ y=x^2 $$ 그래프의 $$ x=0 $$ 부터 $$ x=2 $$ 까지의 넓이는 **$$ \frac{8}{3} $$**
  • 미적분/정적분.1759081753.txt.gz
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  • by masteraccount